Anche se devo ammettere di essere stato fortunato perché questa risposta l'ho presa molto fortunosamente:
16) Consideriamo il numero N = 2000! = 1 x 2 x 3 x... 1999 x 2000. Indichiamo con X il
numero di zeri con cui termina N quando e scritto in base 10, e con Y il numero
di zeri con cui termina N quando e scritto in base 5. Allora X - Y vale:
(A) -2 (B) 0 © 3 (D) 2013 (E) 2014
L'anno scorso alle provinciali ce n'era una molto simile e non l'avevo risolta ma mi sembrava uscisse 0, quindi ho messo subito 0 anche a questa. Ho controllato però la gara dell'anno scorso ed usciva -2, quindi sbagliavo a ricordare che uscisse 0, ma stavolta 0 era la soluzione giusta!
Fortuna a parte, c'è qualcuno che riesce a spiegarmi (magari diversamente dalle soluzioni ufficiali visto che non ci ho capito molto) come si risolvono problemi di questo tipo?
Mi sono messo a fare un calcolo circa il numero di zeri (non facendo la moltiplicazione, ovviamente!!) ma mi sono reso conto solo a metà che non è necessario, in questo caso particolare.
Partiamo da una considerazione di base: cosa fa aggiungere uno zero ad un numero, se siamo in base 10? Beh, moltiplicarlo per 10, quindi moltiplicare quel numero per 5*2. Ogni volta che tra i nostri fattori si aggiunge un 5*2, vuol dire che compare uno zero in più.
Ora... noi abbiamo una sequenza di moltiplicazioni, che prende tutti i numeri da 1 a 2000. Ogni due numeri moltiplichiamo per 2, ogni cinque numeri moltiplichiamo per 5 (tra l'altro, ogni 25 numeri moltiplichiamo per 5*5 qundi se ne aggiungono due, ogni 125 è 5*5*5 e se ne aggiungono tre, e ogni 625 è 5*5*5*5 e se ne aggiungono quattro). Senza stare a contare quanti 5 e quanti 2 abbiamo nel nostro fattore finale, possiamo affermare con sicurezza che avremo sicuramente più 2 che 5, proprio perché il fattore 5 compare ogni cinque numeri mentre il fattore 2 compare ogni due numeri, quindi per sapere quanti 0 terminali ci saranno nel numero finale basta sapere quanti 5 ci sono nel nostro fattore finale, dato che i 2 sono in eccesso. Mi segui fin qui?
Ora arriva il trucchetto: se invece siamo in base 5, per cosa bisogna moltiplicare se vogliamo aggiungere uno zero alla fine di un numero? Il numero stesso della base, quindi nel nostro caso, proprio 5. Ogni volta che moltiplichiamo per 5, in base 5, abbiamo aggiunto uno zero alla fine del numero (come se avessimo moltiplicato per 10 in base 10).
Poiché in base 10 il numero degli zeri era uguale al numero di moltiplicazioni per 5 (e per 2, ma sappiamo che erano sicuramente più dei 5), esattamente come in base 5, avremo che
X = Y
quindi
X -Y = 0
Spero di essere stato chiaro!