Δ=?

#1
Come alcuni sapranno sono passato dal serale al diurno verso inizio del nuovo anno scolastico; bene, ho avuto una fantastica sorpresa: mentre al serale avevamo finito i sistemi ed eravamo arrivati a dover fare le equazioni di 2° grado, al diurno erano alle disequazioni. Mi sono quindi perso le equazioni di 2° grado, e di conseguenza una sua unità, il Δ (Delta). Ora stiamo facendo Geometria analitica, e nei vari problemi sulle parabole mi sono ritrovato davanti il Delta come parte da calcolare necessariamente, senza sapere come.

Googlando ho trovato questa formula: Δ=b² - 4ac, ma provandola su esercizi fatti in classe mi escono risultati diversi da quelli presenti... Tipo, in una situazione del genere -> -2x² + 3x -1 quale dovrebbe essere il Δ?
 
#3
Nelle equazioni di secondo grado, le soluzioni sono 2, di segno opposto. Es: X2=4 ---> X = ±2 perché sia (-2)2 che (+2)2 danno come soluzione 4.

La formula è quindi: -b ± Δ (sotto radice quadrata, il delta) / 2a

(comincio a scriverti questo, la soluzione dell'esercizio te lo dico tra un attimo)
 

_frappuccina ♥

Chimicherry or cherrychanga?
#5
Nelle equazioni di secondo grado, le soluzioni sono 2, di segno opposto. Es: X2=4 ---> X = ±2 perché sia (-2)2 che (+2)2 danno come soluzione 4.
pensavo lo sapesse fossero due le soluzioni, essendo di secondo grado, che indica appunto il numero di soluzioni. Quel che hai detto è giusto.
Credo ti sbagli, frappuccina. b^2=9. 9-4(-2)(-1)=1
Svista, giusto, è 9 il quadrato di 3.
 
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#6
Il delta è dunque 4 [il segno cambia essendo un quadrato]- 4(+3)*(-1)
Aspetta, no

La tua formula è opposta, ho appena riprovato seguendo la mia ed esce così:

3² - 4 (-2)(-1)

9 - 4 (2)

9-8= 1

Δ= 1

Che tra l'altro combacia con quello presente uscito in classe

edit: ecco, infatti xD

Quindi la formula è corretta così?
 
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#7
a= -2

b= +3

c= -1

-3 ± (radice di) 9 - 8 / 4 ----> -3 ± 1 / 4

Due soluzioni:

-3 + 1 / 4 = -1/2

-3 - 1 / 4 = -1
 
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Paolo Urraci

#11
Eh? Da quando -2x2 fa +4? -*+=-, è una delle prime cose che si impara quando si insegnano i numeri negativi.

[Ecco, non sono l'unico a dirlo.]
 
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#14
Si scusate sto delirando!

Comunque giova, in questo caso, per semplificare le cose trasforma l'equazione da:

-2x² + 3x -1 = 0 a (-1)*(-2x²) + (-1)*(3x) - (-1)*(-1) = 0 -----> 2x² -3x +1 = 0

Così hai la X² positiva e la b negativa, cosa che rende più semplice l'equazione...
 
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#15
Sì. La formula risolutiva completa sarebbe - b + Delta (e poi - b - Delta, per avere il doppio risultato)
Cose che non mi interessano ora come ora, per adesso mi serve solo saper ricavare il delta ^^

Darth Jack non ho mai chiesto come si risolvono le equazioni di 2° grado, solo come si ottiene il delta.
 
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Paolo Urraci

#17
Sì. Non so se l'hai sottinteso o l'hai dimenticato, ma va fatta anche la radice quadrata (il risultato quindi rimarrebbe 1 in questo caso)

La formula risolutiva completa sarebbe - b + Delta (e poi - b - Delta, per avere il doppio risultato)
Giusto, hai ragione.

Stavolta sbagli tu, il segno è negativo e diventa positivo.
Non ho capito cosa intendi dire. Se è negativo resta negativo.

non ho mai chiesto come si risolvono le equazioni di 2° grado, solo come si ottiene il delta.
Sì, hai ragione. Mi è sfuggito.
 
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#18
Sì. La formula risolutiva completa sarebbe - b + Delta [tutto fratto 2] (e poi - b - Delta, per avere il doppio risultato). Il Delta sotto radice.
Non è vero! Non è così l'equazione!



Questa è quella giusta!

Edit: ho capito dopo, altro fail personale!
 
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Maze

Non mi ricordo cosa ci fosse scritto prima, ma #TD
Wiki
#25
Già che ci siamo, dubbio sorto esercitandomi:

√2 * √4 = √2*4?

(numeri a caso)
Oc che i numeri sono a caso, però se hai √4 metti 2, che meno radici ci sono meglio è. Fidati. In tal caso verrebbe 2*√2, scrivibile anche 2√2. Qwella radice è come se fosse una x, infatti 2√2 + 3√2 = 5√2, esattamente come 2x + 3x = 5x. Non so se sono andato OT, qwindi confermo che Δ=b2 - 4ac, in cui a è il numero davanti a x2, b qwello davanti a x e c qwello senza x.
 
#26
Oc che i numeri sono a caso, però se hai √4 metti 2, che meno radici ci sono meglio è. Fidati. In tal caso verrebbe 2*√2, scrivibile anche 2√2. Qwella radice è come se fosse una x, infatti 2√2 + 3√2 = 5√2, esattamente come 2x + 3x = 5x. Non so se sono andato OT, qwindi confermo che Δ=b2 - 4ac, in cui a è il numero davanti a x2, b qwello davanti a x e c qwello senza x.
Sì, grazie per avermi insegnato quant'è la radice quadrata di 4
 

Maze

Non mi ricordo cosa ci fosse scritto prima, ma #TD
Wiki
#27
Oc che i numeri sono a caso, però se hai √4 metti 2, che meno radici ci sono meglio è. Fidati. In tal caso verrebbe 2*√2, scrivibile anche 2√2. Qwella radice è come se fosse una x, infatti 2√2 + 3√2 = 5√2, esattamente come 2x + 3x = 5x. Non so se sono andato OT, qwindi confermo che Δ=b2 - 4ac, in cui a è il numero davanti a x2, b qwello davanti a x e c qwello senza x.
Ho dato per scontato che il risultato lo sapessi già e ti ho solo suggerito una scrittura alternativa. Mi ero accorto che avevi detto che i numeri erano a caso proprio per questo. E in realtà il tutto era nato per suggerirti la cosa della x, che è tornata molto comoda a tanti miei ex compagni di classe.
 
#28
Ho dato per scontato che il risultato lo sapessi già e ti ho solo suggerito una scrittura alternativa. Mi ero accorto che avevi detto che i numeri erano a caso proprio per questo. E in realtà il tutto era nato per suggerirti la cosa della x, che è tornata molto comoda a tanti miei ex compagni di classe.
Era una cosa che sapevo già ;) Anche perché è SEMPRE così
 

Maze

Non mi ricordo cosa ci fosse scritto prima, ma #TD
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#29
Cioè, che puoi fare come se tutto fosse una x? asd

Beh, pensavo che fossi all'inizio del calcolo con i radicali vista la domanda.
 
#30
secondo me è meglio una lezione lampo completa sulle equazioni di II grado.

la tipica equazione di II° si presenta nella forma:

ax^2+bx+c=0,

-a<>0 (altrimenti si ricondurrebbe a un'equazione di primo grado)

-se b=0 allora l'equazione di dice spuria, e ha risultati (chiamati radici) reali solo se c<0. infatti in caso contrario dovresti eguagliare un termine sempre positivo a uno negativo, cosa impossibile.

-se c=0 allora è possibile raccogliere una x e prende la forma x(ax+b)=0. quest'equazione avrà soluzioni x=0 e x=-b/a

se tutti e tre i termini sono diversi da zero è necessario trovare una nuova strada per risolvere il problema. risparmiandoci la dimostrazione otteniamo la formula per la risoluzione: x = [-b±radice(b^2-4ac)]/2a

b^2-4ac prende il nome di delta (Δ)

nel tuo caso: -2x² + 3x -1=0

Δ = 3^2 - 4(-1)(-2) = 9 - 8 = 1

la formula di risoluzione può essere quindi riscritta come x = [-b±radice(Δ)]/2a

se Δ>0 si avranno 2 soluzioni (chiamate radici) reali e distinte, se Δ=0 si avranno due soluzioni reali e coincidenti, se Δ<0 non si avranno soluzioni reali (l'equazione non è impossibile!!)

a cosa serve quindi il Δ nella geometria analitica?

il Δ serve a stabilire i rapporti fra una curva e una retta. mettendo a sistema l'equazione della curva con quella della retta si ottiene un'equazione di secondo grado. se il Δ di quest'equazione viene posto maggiore di 0 si otterranno 2 soluzioni che stabiliscono i punti di intersezione fra retta e curva. se Δ=0 si otterrà il punto di contatto della retta con la curva (due punti coincidenti). se Δ<0, non avendo l'equazione nessuna soluzione, la retta è esterna alla curva e non la interseca in nessun punto.

esaminiamo il caso della retta y=mx+q e della parabola y=ax^2+bx+c in un suo punto P(xo,yo)

mettendo a sistema l'equazione del fascio di rette passanti per P e mettendolo a sistema con la parabola si ottiene un'equazione in funzione di m. ponendo il Δ=0 otteniamo l'm della retta tangente, che inseriremo poi nell'equazione del fascio.

per facilitarci il compito, con lo studio delle derivate), l' m della retta y=mx+q tangente alla parabola y=ax^2+bx+c nel suo punto P(xo,yo) è: m=2axo+b

l'equazione della retta tangente in P sarà quindi: y = (2axo+b)(x-xo) + yo
 
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